问题详情：
如图，在平面直角坐标系
中，椭圆C过点
，焦点
，圆O的直径为
．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于
两点．若
的面积为
，求直线l的方程．
【回答】
（1）
，
；（2）
【解析】
分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.
详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为
，
可设椭圆C的方程为
．又点
在椭圆C上，
所以
，解得
因此，椭圆C的方程为
．
因为圆O的直径为
，所以其方程为
．
（2）①设直线l与圆O相切于
，则
，
所以直线l的方程为
，即
．
由
，消去y，得
．（*）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以
．
因为
，所以
．
因此，点P的坐标为
．
②因为三角形OAB的面积为
，所以
，从而
．
设
，
由（*）得
，
所以
．
因为
，
所以
，即
，
解得
舍去），则
，因此P的坐标为
．
综上，直线l的方程为
．
点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.
知识点：圆与方程
题型：解答题
