问题详情:
如图,在四棱锥中,底面是矩形,是的中点,平面,且,.
(1)求*:;
(2)求与平面所成角的正弦值;
(3)求二面角的余弦值.
【回答】
(1)*见解析;(2);(3).
【解析】
(1)根据线面垂直的判定定理*平面,即*;
(2)以为原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,求平面的法向量,用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值;
(3)求平面的法向量,用向量的方法求二面角的余弦值.
【详解】(1)平面,平面,.
底面是矩形,,又,
平面,平面,
.
(2)以原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示
则,
,
设平面的法向量,则
,即,令,则,.
设直线与平面所成的角为,则
.
所以与平面所成角的正弦值为.
(3).
设平面的法向量,则
,即,令,则..
又平面的法向量.
设二面角的大小为,则为锐角,
,
所以二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查线线垂直,考查用向量的方法求线面角和面面角,考查学生的运算能力,属于较难的题目.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题