问题详情：
如图所示，正方体
的棱长为1，
分别是棱
的中点，过直线
的平面分别与棱
交于
，设
求:
(1)求
与面
所成的角的大小；
(2)求四棱锥
的体积
并讨论它的单调*；
(3)若点
是正方体棱上一点，试*:满足
成立的点的个数为6.
【回答】
(1)
(2) 
,不具有单调* (3) *见解析.
【分析】
(1) 作
于H,连接
,则
即为
与面
所成的角.根据线面关系可判定
为直角三角形,结合棱长,即可求得
的大小.
(2) 连接
可知四棱锥
的体积为定值,与
的值无关,因而
没有单调*.
(3) 根据题意可知, 
, 
所以P在以
、
为焦点,长轴为2的椭圆上.即椭圆与正方体各棱的交点可满足等式成立.
【详解】
(1) 作
于H,连接
如下图所示:
则
,
即为
与面
所成的角
因为
所以
为等腰直角三角形
所以
(2) 连接
则四棱锥
可以分割成两个小的三棱锥,即
和
,如下图所示:
因为
所以
到平面
的距离为定值,同理
到平面
的距离也为定值
且
、
到平面
的距离相等
即
因为
为常数函数，所以不具有单调*
(3) 由题意可知, 
, 
所以P在以
、
为焦点,长轴为2的椭圆上.
,所以
同时P为正方体棱上的一点
所以P为正方体的棱与椭圆的交点
由正方体*质可知符合要求的点P在
,
,
,
,
,
上各有一点
所以共有6个点
结论得*.
【点睛】
本题考查了空间结构体线面夹角的求法,四棱锥体积的求法,空间几何与解析几何的综合,具有很强的综合*,属于难题.
知识点：空间几何体
题型：解答题
