问题详情：
如图，正三棱柱
的所有棱长都为
，
为
中点．建立如图的空间直角坐标系。
（1）求*：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值；
（3）求点
到平面
的距离．
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【回答】
解法一：（Ⅰ）取
中点
，连结
．
为正三角形，
．
正三棱柱
中，平面
平面
，
平面
．
连结
，在正方形
中，
分别为
的中点， 
，
．
在正方形
中，
，
平面
．
（Ⅱ）设
与
交于点
，在平面
中，作
于
，
连结
，由（Ⅰ）得
平面
．
，
为二面角
的平面角．
在
中，由等面积法可求得
，
又
，
．
所以二面角
的正弦值为
．
（Ⅲ）
中，
，
．
在正三棱柱中，
到平面
的距离为
．
设点
到平面
的距离为
．
由
得
，
．
点
到平面
的距离为
．
解法二：（Ⅰ）取
中点
，连结
．
为正三角形，
．
在正三棱柱
中，平面
平面
，
平面
．
取
中点
，以
为原点，
，
，
的方向为
轴的正方向建立
空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
．
平面
．
（Ⅱ）设平面
的法向量为
．
，
．
，
，
令
得
为平面
的一个法向量．
由（Ⅰ）知
平面
，
为平面
的法向量．
，
．
所以二面角
的正弦值为
．
（Ⅲ）由（Ⅱ），
为平面
法向量，
．
点
到平面
的距离
知识点：点 直线 平面之间的位置
题型：解答题
