问题详情:
已知,四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,DE=EC,以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D,点B在⊙O上,连接OB.
(1)求*:DE=OE;
(2)若CD∥AB,求*:BC是⊙O的切线;
(3)在(2)的条件下,求*:四边形ABCD是菱形.
【回答】
【解答】解:(1)如图,连接OD,
∵CD是⊙O的切线,
∴OD⊥CD,
∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°,
∵DE=EC,
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠COD,
∴DE=OE;
(2)∵OD=OE,
∴OD=DE=OE,
∴∠3=∠COD=∠DEO=60°,
∴∠2=∠1=30°,
∵AB∥CD,
∴∠4=∠1,
∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°,
∴∠BOC=∠DOC=60°,
在△CDO与△CBO中,,
∴△CDO≌△CBO(SAS),
∴∠CBO=∠CDO=90°,
∴OB⊥BC,
∴BC是⊙O的切线;
(3)∵OA=OB=OE,OE=DE=EC,
∴OA=OB=DE=EC,
∵AB∥CD,
∴∠4=∠1,
∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°,
∴△ABO≌△CDE(AAS),
∴AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴∠DAE=∠DOE=30°,
∴∠1=∠DAE,
∴CD=AD,
∴▱ABCD是菱形.
【点评】此题主要考查了切线的*质,同角的余角相等,等腰三角形的*质,平行四边形的判定和*质,菱形的判定,判断出△ABO≌△CDE是解本题的关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题