问题详情:
如图,在四棱锥中,,且.
(Ⅰ)当时,*:平面平面;
(Ⅱ)当四棱锥的体积为,且二面角为钝角时,求直线与平面所成角的正弦值.
【回答】
(Ⅰ)*:取的中点,连接,
∵为正三角形,∴,
∵,∴,
∵,∴,
∴四边形为矩形,∴,
在中,,,,∴,∴,
∵,∴平面,
∵平面,∴平面平面.
(Ⅱ)*:∵,,,
平面,∴平面,
∵平面,∴平面平面,
∴过点作平面,垂足一定落在平面与平面的交线上.
∵四棱锥的体积为,
∴,∴,
∵,∴.
如图,以为坐标原点,以为轴,轴.
在平面内过点作垂直于平面的直线为轴,建立空间直角坐标系,
由题意可知,,,,,,
设平面的一个法向量为,则,得,
令,则,∴,
,设直线与平面所成的角为,
则.
则直线与平面所成角的正弦值为.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题