问题详情:
【问题情境】如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)*:AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出*;若不成立,请说明理由.
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图2,探究展示(1)、(2)中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要*.
【回答】
(1)*见解析;
成立;*见解析;
(3)①结论AM=AD+MC仍然成立.
②结论AM=DE+BM不成立.
【解析】
试题解析:(1)延长AE、BC交于点N,如图1(1),
∴△ADE≌△NCE(AAS).
∴AD=NC.
∴MA=MN=NC+MC=AD+MC.
(2)AM=DE+BM成立.
过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,如图1(2)所示.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.
∴AM=FM.
∴AM=FB+BM=DE+BM.
(3)①结论AM=AD+MC仍然成立.
延长AE、BC交于点P,如图2(1),
②结论AM=DE+BM不成立.
假设AM=DE+BM成立.
过点A作AQ⊥AE,交CB的延长线于点Q,如图2(2)所示.
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠QAB
=∠QAM.
∴∠Q=∠QAM.
∴AM=QM.
∴AM=QB+BM.
∵AM=DE+BM,
∴QB=DE.
在△ABQ和△ADE中,
,
∴△ABQ≌△ADE(AAS).
∴AB=AD.
与条件“AB≠AD“矛盾,故假设不成立.
∴AM=DE+BM不成立.
考点:1、角平分线的定义;2、平行线的*质;3、全等三角形的判定与*质;4、矩形及正方形的*质.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题