问题详情：
已知点
在抛物线
上，若以
为圆心的圆与
轴有两个交点
，且
两点的横坐标是关于
的方程
的两根．
（1）当
在抛物线上运动时，
在
轴上截得的弦长是否变化？为什么？
（2）若
与
轴的两个交点和抛物线的顶点
构成一个等腰三角形，试求
的值．
【回答】
（1）不变，弦长始终为2，理由见解析；（2）
或
或
或
或
【分析】
(1)设
两点的横坐标分别是
，由韦达定理结合点
在抛物线上求出
即可求解；
(2)按照等腰三角形顶角不同分成三类讨论，逐个求解即可．
【详解】
解：（1）设
两点的横坐标分别是
，由根与系数的关系知
，
那么：
，
又因为
在抛物线
上，所以
．故
，
故*为: 弦长AB不变，始终为2；
(2)
，
①当C为等腰三角形顶角时：
，此时M点与C点重合，A、B两点关于y轴对称，即
，∴
；
②当A为等腰三角形顶角时:
，且
，
∴
，解得
，
当
时，
，对应的
，
当
时，
，对应的
，
③当B为等腰三角形顶角时：
，且
，
∴
，解得
，
当
时，
，对应的
，
当
时，
，对应的
，
综上所述：
或
或
或
或
．
【点睛】
本题考查了圆中弦长的求法，韦达定理，二次函数上点的坐标特征，等腰三角形的存在*问题等，属于一道综合题，计算过程中细心是解决本题的关键．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：解答题
