已知函数.(1)若直线过点（1，0），并且与曲线相切，求直线的方程；(2)设函数在[1,e]上有且只有一个零点...

问题详情：

已知函数.

(1)若直线过点（1，0），并且与曲线相切，求直线的方程；

(2)设函数在[1,e]上有且只有一个零点，求的取值范围.(其中∈R，e为自然对数的底数)

【回答】

解：（1）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0,切线的斜率为lnx0+1，

所以切线l的方程为y-x0lnx0=（lnx0+1）（x-x0），又切线l过点（1，0），

所以有-x0lnx0=（lnx0+1）(1-x0)，即lnx0=x0-1，设h（x）=lnx-x+1，则，x∈（0,1），，h（x）单调递增，x∈（1,），，h（x）单调递减，h（x）max=h(1)=0有唯一解，所以x0=1，y0=0.

所以直线l的方程为y=x-1.（4分）

（2）因为g（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=0，

所以所求问题等价于函数g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上没有零点.

因为.所以由lnx+1-a<00<x<ea-1,x>ea-1,

所以g（x）在（0，ea-1）上单调递减，在（ea-1，）上单调递增.（6分）

①当ea-1≤1，即a≤1时，g（x）在（1,e]上单调递增，所以g（x）>g(1)=0.

此时函数g（x）在（1,e]上没有零点，（7分）

②当1<ea-1<e,即1<a<2时，g（x）在[1,ea-1)上单调递减，在（ea-1,e]上单调递增，

又因为g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在(1,e]上的最小值为g（ea-1）=a-ea-1，

所以（i）当1<a≤时，g（x）在[1,e]上的最大值g（e）≥0，即此时函数g（x）在(1,e]上有零点.（10分）

（ii）当<a<2时，g（e）＜0，即此时函数g（x）在（1,e]上没有零点，

③当e≤ea-1即a≥2时，g（x）在[1,e]上单调递减，所以g（x）在[1,e]上满足g（x）<g(1)=0，此时函数g（x）在(1,e]上没有零点.（11分）

综上，所求的a的取值范围是a≤1或a>.(12分)

知识点：函数的应用

题型：解答题