问题详情：
在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A,B两点.
(1)如果直线l过抛物线的焦点,求
·
的值;
(2)如果
·
=-4,*:直线l必过一定点,并求出该定点.
【回答】
解:(1)由题意,抛物线焦点坐标为(1,0),
设l:x=ty+1,
代入抛物线y2=4x,
消去x得y2-4ty-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4t,y1y2=-4,
所以
·
=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2
=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2
=-4t2+4t2+1-4
=-3.
(2)设l:x=ty+b,代入抛物线y2=4x,
消去x得y2-4ty-4b=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4t,y1y2=-4b,
所以
·
=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2
=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2
=-4bt2+4bt2+b2-4b
=b2-4b.
令b2-4b=-4,
所以b2-4b+4=0,
所以b=2,
所以直线l过定点(2,0).
所以若
·
=-4,
则直线l必过一定点(2,0).
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
