已知F（x）=dt，（x＞0）．（1）求F（x）的单调区间；（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．

问题详情：

已知F（x）=dt，（x＞0）．

（1）求F（x）的单调区间；

（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．

【回答】

【考点】68：微积分基本定理；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（1）由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出．再利用导数，研究F'（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．

（2）根据F（x）的单调*，分别求出F（1）、F（2）、F（3）的值并比较大小，可得F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=﹣6，最小值是．

【解答】解：依题意得，，

定义域是（0，+∞）．

（1）F'（x）=x2+2x﹣8，

令F'（x）＞0，得x＞2或x＜﹣4； 令F'（x）＜0，得﹣4＜x＜2，

且函数定义域是（0，+∞），

∴函数F（x）的单调增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．

（2）令F'（x）=0，得x=2（x=﹣4舍），

由于函数在区间（0，2）上为减函数，区间（2，3）上为增函数，

且，，F（3）=﹣6，

∴F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=﹣6，最小值是．

知识点：导数及其应用

题型：解答题