问题详情:
已知曲线C:y=,D为直线y=上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)*:直线AB过定点:
(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.
【回答】
(1)见详解;(2) 3或.
【分析】
(1)可设,,然后求出A,B两点处的切线方程,比如:,又因为也有类似的形式,从而求出带参数直线方程,最后求出它所过的定点.
(2)由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立,再通过为线段的中点,得出的值,从而求出坐标和的值,分别为点到直线的距离,则,结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.
【详解】
(1)*:设,,则.
又因为,所以.则切线DA的斜率为,
故,整理得.
设,同理得.
,都满足直线方程.
于是直线过点,而两个不同的点确定一条直线,所以直线方程为.即,
当时等式恒成立.所以直线恒过定点.
(2)由(1)得直线的方程为.
由,可得,
于是
.
设分别为点到直线的距离,则.
因此,四边形ADBE的面积.
设M为线段AB的中点,则,
由于,而,与向量平行,所以,解得或.
当时,;当时
因此,四边形的面积为3或.
【点睛】
此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型,属于常规题型,按部就班的求解就可以.思路较为清晰,但计算量不小.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题