问题详情:
如图1,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4,矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值;
(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:
(1)∵矩形OBDC的边CD=1,
∴OB=1,
∵AB=4,
∴OA=3,
∴A(﹣3,0),B(1,0),
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2
(2)在y=﹣x2﹣x+2中,令y=2可得2=﹣x2﹣x+2,解得x=0或x=﹣2,
∴E(﹣2,2),
∴直线OE解析式为y=﹣x,
由题意可得P(m,﹣m2﹣m+2),
∵PG∥y轴,
∴G(m,﹣m),
∵P在直线OE的上方,
∴PG=﹣m2﹣m+2﹣(﹣m)=﹣m2﹣m+2=﹣(m+)2+,
∵直线OE解析式为y=﹣x,
∴∠PGH=∠COE=45°,
∴l=PG= [﹣(m+)2+]=﹣(m+)2+,
∴当m=﹣时,l有最大值,最大值为;
(3)①当AC为平行四边形的边时,则有MN∥AC,且MN=AC,如图,过M作对称轴的垂线,垂足为F,设AC交对称轴于点L,
则∠ALF=∠ACO=∠FNM,
在△MFN和△AOC中
∴△MFN≌△AOC(AAS),
∴MF=AO=3,
∴点M到对称轴的距离为3,
又y=﹣x2﹣x+2,
∴抛物线对称轴为x=﹣1,
设M点坐标为(x,y),则|x+1|=3,解得x=2或x=﹣4,
当x=2时,y=﹣,当x=﹣4时,y=,
∴M点坐标为(2,﹣)或(﹣4,﹣);
②当AC为对角线时,设AC的中点为K,
∵A(﹣3,0),C(0,2),
∴K(﹣,1),
∵点N在对称轴上,
∴点N的横坐标为﹣1,
设M点横坐标为x,
∴x+(﹣1)=2×(﹣)=﹣3,解得x=﹣2,此时y=2,
∴M(﹣2,2);
综上可知点M的坐标为(2,﹣)或(﹣4,﹣)或(﹣2,2).
【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、二次函数的*质、等腰直角三角形的*质、全等三角形的判定和*质、平行四边形的判定和*质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中求得A、B的坐标是解题的关键,在(2)中确定出PG与l的关系是解题的关键,在(3)中确定出M的位置是解题的关键.本题考查知识点较多,综合*较强,难度适中.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题