(在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C...

问题详情：

 (在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

【回答】

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解：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0，1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，

(3－2，0)．

故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.

则圆C的半径为＝3.

所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其坐标满足方程组：（x－3）2＋（y－1）2＝9.(x－y＋a＝0，)

消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.

由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0.

从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝2(a2－2a＋1).①

由于OA⊥OB，所以即x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②

由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题