问题详情:
如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底,是的中点.
(1)*:直线平面;
(2)点在棱上,且直线与底面所成角为,求二面角的余弦值.
【回答】
(1)见解析;(2)
【详解】
试题分析:(1) 取的中点,连结,,由题意*得∥,利用线面平行的判断定理即可*得结论;(2)建立空间直角坐标系,求得半平面的法向量:,,然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值为.
试题解析:(1)取中点,连结,.
因为为的中点,所以,,由得,又
所以.四边形为平行四边形, .
又,,故
(2)
由已知得,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则
则,,,,
,则
因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而是底面ABCD的法向量,所以
,
即(x-1)²+y²-z²=0
又M在棱PC上,设
由①,②得
所以M,从而
设是平面ABM的法向量,则
所以可取.于是
因此二面角M-AB-D的余弦值为
点睛:(1)求解本题要注意两点:①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,②利用方程思想进行向量运算,要认真细心、准确计算.
(2)设m,n分别为平面α,β的法向量,则二面角θ与<m,n>互补或相等,故有|cos θ|=|cos<m,n>|=.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题