问题详情:
如图,已知二次函数的图象过点O(0,0).A(8,4),与x轴交于另一点B,且对称轴是直线x=3.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若M是OB上的一点,作MN∥AB交OA于N,当△ANM面积最大时,求M的坐标;
(3)P是x轴上的点,过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q.过A作AC⊥x轴于C,当以O,P,Q为顶点的三角形与以O,A,C为顶点的三角形相似时,求P点的坐标.
【回答】
【解答】解:(1)∵抛物线过原点,对称轴是直线x=3,
∴B点坐标为(6,0),
设抛物线解析式为y=ax(x﹣6),
把A(8,4)代入得a•8•2=4,解得a=,
∴抛物线解析式为y=x(x﹣6),即y=x2﹣x;
(2)设M(t,0),
易得直线OA的解析式为y=x,
设直线AB的解析式为y=kx+b,
把B(6,0),A(8,4)代入得,解得,
∴直线AB的解析式为y=2x﹣12,
∵MN∥AB,
∴设直线MN的解析式为y=2x+n,
把M(t,0)代入得2t+n=0,解得n=﹣2t,
∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t,
解方程组得,则N(t,t),
∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM
=•4•t﹣•t•t
=﹣t2+2t
=﹣(t﹣3)2+3,
当t=3时,S△AMN有最大值3,此时M点坐标为(3,0);
(3)设Q(m,m2﹣m),
∵∠OPQ=∠ACO,
∴当=时,△PQO∽△COA,即=,
∴PQ=2PO,即|m2﹣m|=2|m|,
解方程m2﹣m=2m得m1=0(舍去),m2=14,此时P点坐标为(14,28);
解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0(舍去),m2=﹣2,此时P点坐标为(﹣2,4);
∴当=时,△PQO∽△CAO,即=,
∴PQ=PO,即|m2﹣m|=|m|,
解方程m2﹣m=m得m1=0(舍去),m2=8(舍去),
解方程m2﹣m=﹣m得m1=0(舍去),m2=2,此时P点坐标为(2,﹣1);
综上所述,P点坐标为(14,28)或(﹣2,4)或(2,﹣1).
【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的*质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形*质;灵活运用相似比表示线段之间的关系;会运用分类讨论的思想解决数学问题.
知识点:各地中考
题型:综合题