问题详情：
已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F(0，1)，过点F作直线l交抛物线C于A，B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e＝
．
(1)分别求抛物线C和椭圆E的方程；
(2)经过A，B两点分别作抛物线C的切线l1，l2，切线l1与l2相交于点M．*：AB⊥MF．
【回答】
解：(1)由已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F(0，1)，可得抛物线C的方程为x2＝4y．
设椭圆E的方程为
＋
＝1(a>b>0)，半焦距为c．由已知得：
所以椭圆E的方程为
＋y2＝1．
(2)*：显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不符合题意．
故可设直线l的方程为y＝kx＋1，
A (x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，由
消去y并整理得x2－4kx－4＝0，所以x1x2＝－4．
因为抛物线C的方程为y＝
x2，求导得y′＝
x，
所以过抛物线C上A，B两点的切线方程分别是y－y1＝
x1(x－x1)，y－y2＝
x2(x－x2)，
即y＝x1x－
x
，y＝x2x－x
，
解得两条切线l1，l2的交点M的坐标为
，
即
所以
所以AB⊥MF．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
