问题详情:
如图过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为( )
A.y2=x B.y2=9x C.y2=x D.y2=3x
【回答】
D【考点】抛物线的标准方程.
【专题】计算题;压轴题;数形结合.
【分析】分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,根据抛物线定义可知|BD|=a,进而推断出∠BCD的值,在直角三角形中求得a,进而根据BD∥FG,利用比例线段的*质可求得p,则抛物线方程可得.
【解答】解:如图分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°,
在直角三角形ACE中,∵|AF|=3,|AC|=3+3a,
∴2|AE|=|AC|
∴3+3a=6,
从而得a=1,
∵BD∥FG,
∴=求得p=,
因此抛物线方程为y2=3x.
故选D.
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程.考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:选择题