问题详情：
已知在平面直角坐标系
中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
，右顶点为
，设点
.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若
是椭圆上的动点，求线段
中点
的轨迹方程；
（3）过原点
的直线交椭圆于点
，求
面积的最大值.
【回答】
（1）
；（2）
；（3）
.
【解析】试题分析：（1）由"左焦点为
，右顶点为
"得到椭圆的半长轴
，半焦距
，再求得半短轴
最后由椭圆的焦点在
轴上求得方程；（2）设线段
的中点为
，点
的坐标是
，由中点坐标公式，分别求得
，代入椭圆方程，可求得线段
中点
的轨迹方程；（3）分直线
垂直于
轴时和直线
不垂直于
轴两种情况分析，求得弦长
，原点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值.
试题解析：（1）椭圆的标准方程为
.
（2）设线段
的中点为
，点
的坐标是
，
由
，得
点
在椭圆上，得
∴线段
中点
的轨迹方程是
.
（3）当直线
垂直于
轴时， 
，因此
的面积
.
当直线
不垂直于
轴时，该直线方程为
，代入
，
解得
， 
，
则
，又点
到直线
的距离
，
∴
的面积
于是
由
，得
，其中，当
时，等号成立.
∴
的最大值是
.
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
