问题详情：
有限数列
…，
同时满足下列两个条件：
①对于任意的
；
②对于任意的
三个数中至少有一个数是数列
中的项。
（Ⅰ）若
，且
，求a的值；
（Ⅱ）*：2，3，5不可能都是数列
中的项；
（Ⅲ）求n的最大值。
【回答】
解：（Ⅰ）由①，得
，
由②，当
时，
，12中至少有一个是数列1，2，a，6中的项，但
，故
，解得a
。
经检验，当
时，符合题意。
（Ⅱ）假设2，3，5是数列
中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列
中的项，则有限数列
的最后一项
，且
。
由①，
，
对于数
，由②可知：
；对于数
，由②可知：
。
所以
，这与①矛盾，
所以2，3，5不可能是数列
中的项。
（Ⅲ）n的最大值为9，*如下：
（1）令
，则
符合①、②。
（2）设
…
符合①、②，则：
（i）
中至多有三项，其绝对值大于1，
假设
中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设
是
中绝对值最大的四项，其中
。则对
有
，故
均不是数列
中的项，即
是数列
中的项。
同理：
也是数列
中的项。
但
，
所以
，
所以
，这与①矛盾。
（ii）
中至多有三项，其绝对值大于0且小于1，
假设
中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（i）得出矛盾。
（iii）
中至多有两项绝对值等于1。
（iv）
中至多有一项等于0。
综合（i），（ii），（iii），（iv）可知
中至多有9项。
由（1），（2）可得，n的最大值为9。
知识点：数列
题型：解答题
