问题详情:
已知函数有且只有一个零点,其中.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若对任意的,有成立,求实数的最大值;
(Ⅲ)设,对任意, *:不等式恒成立.
【回答】
解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣a,+∞),.
由f'(x)=0,得x=1﹣a>﹣a.
∵当﹣a<x<1﹣a时,f'(x)>0;当x>1﹣a时,f'(x)<0,
∴f(x)在区间(﹣a,1﹣a]上是增函数,在区间[1﹣a,+∞)上是减函数,
∴f(x)在x=1﹣a处取得最大值.
由题意知f(1﹣a)=﹣1+a=0,解得a=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=ln(x+1)﹣x,
当k≥0时,取x=1得,f(1)=ln2﹣1<0,知k≥0不合题意.
当k<0时,设g(x)=f(x)﹣kx2=ln(x+1)﹣x﹣kx2.
则
令g/(x)=0,得x1=0,.
①若≤0,即k≤﹣时,g'(x)>0在x∈(0,+∞)上恒成立,
∴g(x)在[0,+∞)上是增函数,从而总有g(x)≥g(0)=0,
即f(x)≥kx2在[0,+∞)上恒成立.
②若,即时,对于,g'(x)<0,
∴g(x)在上单调递减.
于是,当取时,g(x0)<g(0)=0,即f(x0)≥不成立.
故不合题意.
综上,k的最大值为.
(Ⅲ) 由h(x)=f(x)+x=ln(x+1).
不妨设x1>x2>﹣1,则要*,
只需*,
即*,
即*.
设,则只需*,
化简得.
设,则,
∴φ(t)在(1,+∞)上单调递增,
∴φ(t)>φ(1)=0.
即,得*.
故原不等式恒成立.
知识点:函数的应用
题型:解答题