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已知函数
讨论函数
的单调*；
设
，对任意
的恒成立，求整数
的最大值；
求*：当
时，
【回答】
（1）∵函数 f（x）＝
（a∈R ）．
∴
，x＞0，
当a＝0时，f′（x）
0，f（x）在（0，+∞）单调递增．
当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．
当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x
，
令f′（x）＜0，解得：x
，
故f（x）在（0，
）递增，在（
，+∞）递减．
（2）当
时，则f（1）＝2a+3＞0，不满足f（x）≤0恒成立．
若a<0，由（1）可知，函数f（x）在（0，
）递增，在（
，+∞）递减．
∴
，又f（x）≤0恒成立，
∴f（x）max≤0，即
0，令g(a)=
,则g(a)单调递增，g(-1)=1，
g(-2)=
<0，∴a
时，g(a) <0恒成立，此时f（x）≤0恒成立，
∴整数
的最大值-2．
（3）由（2）可知，当a＝-2时，f（x）≤0恒成立，即lnx﹣2x2+1≤0．即xlnx﹣2x3+x≤0，
恒成立，①
又
ex﹣x2+2x﹣1+（
）
∴只需*ex﹣x2+2x﹣1
，
记g（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），则g′（x）＝ex﹣2x+2，
记h（x）＝ex﹣2x+2，则h′（x）＝ex﹣2，由h′（x）＝0，得x＝ln2．
当x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0；当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0．
∴函数h（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增．
∴
4﹣2ln2＞0．
∴h（x）＞0，即g′（x）＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．
∴g（x）＞g（0）＝e0﹣1＝0，即ex﹣x2+2x﹣1＞0．
结合①∴ex﹣x2+2x﹣1+（
）＞0，即
＞0成立．
知识点：基本初等函数I
题型：解答题
