已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．（Ⅲ）求*：（，是自然对数...

问题详情：

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数 的单调区间；

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（Ⅲ）求*：（，是自然对数的底数）.

【回答】

 解：（Ⅰ）当时，，

由解得，由解得，

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为

（Ⅱ）因当时，不等式恒成立，即恒成立，设

，只需即可.

由,

（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，

故成立；

（ⅱ）当时，由，因，所以，

①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在上无最大值(或：当时，)，此时不满足条件；

②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件；

（ⅲ）当时，由，∵，∴，

∴，故函数在上单调递减，故成立.

综上所述，实数的取值范围是.

（Ⅲ）据（Ⅱ）知当时，在上恒成立，又，

∵

，

∴.

知识点：导数及其应用

题型：解答题