问题详情:
已知函数在点处的切线是.
(1)求函数的极值;
(2)当恒成立时,求实数的取值范围(为自然对数的底数).
【回答】
【解析】(Ⅰ)因为,所以,
因为点处的切线是,所以,且
所以,即()
所以,所以在上递增,在上递减
所以的极大值为,无极小值.
(Ⅱ)当在恒成立时, 由(Ⅰ),
即在恒成立,
【法一】设,则,,
又因为,所以当时,;当时,.
所以在上单调递减,在上单调递增,;
在上单调递增,在上单调递减,.
所以均在处取得最值,所以要使恒成立,
只需,即,解得,又,
所以实数的取值范围是.
【法二】设(),则
当 时,,,则,,即
当 时,,,则,,即
所以在上单调递增,在上单调递减.
所以,即,又
所以实数的取值范围是.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题