已知函数.（1）求函数的单调区间和最小值；（2）若函数在上的最小值为，求的值；（3）若,且对任意恒成立，求的最...

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已知函数.

（1）求函数的单调区间和最小值；

（2）若函数在上的最小值为，求的值；

（3）若,且对任意恒成立，求的最大值.

【回答】

    解：（1）的单调增区间为，单调减区间为，

（2），，

Ⅰ．当时，，在上单调递增，，所以，舍去.

Ⅱ．当时，在上单调递减，在上单调递增，

①若，在上单调递增，，所以，舍去，

②若，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.

③若，在上单调递减，，所以，舍去，

综上所述，.

（3）法一：由题意得：对任意恒成立，即对任意恒成立.

令，则，令，则，

所以函数在上单调递增，

因为方程在上存在唯一的实根，且，当时，，即，

当时，，即.

所以函数在上递减，在上单调递增.

所以

所以，又因为，故整数的最大值为3.

法二：直接构造函数

      令

   ① 当时，在上恒成立，在上恒成立，

      ；

   ② 当时，令

     当变化时，、变化情况如下表：

   即

即      

同法一 

  的最大值是3

知识点：导数及其应用

题型：解答题