问题详情：
已知函数
（Ⅰ）若函数
存在最小值，且最小值大于
，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数
，使得
，求*：函数
在区间
上单调递增。
【回答】
（Ⅰ）f′（x）
，
①a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）递增，故无最小值；
②a＞0时，由f′（x）＞0，解得：x＞a，
由f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
此时f（x）有最小值，且f（x）min＝a（1﹣a﹣lna），
令g（a）＝1﹣a﹣lna（a＞0），
则g（a）在（0，+∞）递减，又g（1）＝0，
∴0＜a＜1时，g（a）＞0，此时f（x）min＞0，
a≥1时，g（a）≤0，此时f（x）min≤0，
故a的范围是（0，1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，要存在实数x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），则a＞0，
∵f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
不妨设0＜x1＜x2，则0＜x1＜a，
令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），
则h′（x）
，
∴x∈（0，a）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，a）递减，
∵x1∈（0，a），∴h（x1）＞h（a）＝f（a）﹣f（a）＝0，
即f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，
∴f（x1）＞f（2a﹣x1），
∵f（x1）＝f（x2），
∴f（x2）＞f（2a﹣x1），
∵0＜x1＜a，∴2a﹣x1＞a，
∵f（x）在（a，+∞）递增，
∴x2＞2a﹣x1，∴
a，
∴函数f（x）在区间[
，+∞）递增，
∵x1≠x2，∴
，
∴函数f（x）在区间[
，+∞）上单调递增．
知识点：导数及其应用
题型：综合题
