已知函数，，,令.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.

问题详情：

已知函数，，,令.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.

【回答】

解：（1）定义域为，

①当时恒成立，在上是增函数.

②当时令

令

增区间： ，减区间：                       …… 6分

（2）法一：令.

所以.

当时，因为，所以所以在上是递增函数，

又因为.所以关于的不等式不能恒成立.

当时，.令得，

所以当时，；当时，，

因此函数在是增函数，在是减函数.

故函数的最大值为.

令，因为，，

又因为在上是减函数，所以当时，.

所以整数的最小值为2.                             …… 12分

法二：由恒成立知恒成立，

令，则，

令，因为，，则为增函数.

故存在，使，即，

当时，，为增函数，当时，，为减函数.

所以，

而，所以，所以整数的最小值为2.                 

知识点：导数及其应用

题型：解答题