问题详情：
（1）讨论函数的单调*；
（2）对于任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在最小的正常数，使得：当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理*.
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【回答】
⑵由于，所以.构造函数，则令，得.当时，；当时，.所以函数在点处取得最小值，即.
因此所求的的取值范围是. (7分)
⑶结论：这样的最小正常数存在. 解释如下：
.
构造函数，则问题就是要求恒成立. (9分)
对于求导得 .
令，则，显然是减函数.
又，所以函数在上是增函数，在上是减函数，而，
，.
所以函数在区间和上各有一个零点，令为和，并且有: 在区间和上，即；在区间上，即. 从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增. ，当时，；当时，. 还有是函数的极大值，也是最大值.
题目要找的，理由是：
当时，对于任意非零正数，，而在上单调递减，所以一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明；
当时，取，显然且，题目所要求的不等式不恒成立，说明不能比小.
综合可知，题目所要寻求的最小正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立. (12分)
( 注意：对于和的存在*也可以如下处理：
令，即. 作出基本函数和 的图像，借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程有两个正实数根和，且，（实际上），可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.，当时，；当时，. 还有是函数的极大值，也是最大值. ）
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知识点：基本初等函数I
题型：解答题
