问题详情：
如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的*影为A1，点B在直线l上的*影为B1，已知AB＝2，AA1=1，BB1＝
，求：
（Ⅰ）直线AB分别与平面α，β所成的角的大小；
（Ⅱ）二面角A1－AB－B1的大小.
【回答】
解法一：（Ⅰ）如图，连接A1B，AB1.
∵α⊥β，α∩β=l，AA1⊥l，BB1⊥l， ∴AA1⊥β，BB1⊥α，
则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中，BB1=
，AB=2，∴sin∠BAB1=
，
∴∠BAB1=45°.
Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，
∴sin∠ABA1=
， ∴∠ABA1=30°.
故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°.
（Ⅱ）∵BB1⊥α，
∴平面ABB1⊥α，在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB.
∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=.
∴Rt△AA1B1中，AA1=A1B1=1，∴A1E=
AB1=
.
在Rt△AA1B中，A1B=
.
由 AA1・A1B=A1F・AB得
A1F=
.
∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=
，
∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin
.
解法二：（Ⅰ）同解法一.
(Ⅱ)如图，建立坐标系，则A1（0，0，0），A（0，0，1），B1（0，1，0），B（
，1，0）.
在AB上取一点F（x，y，z），则存在t∈R，使得
，
即（x，y，z－1）=t(
)，
∴点F的坐标为(
t，t，1－t).
要使 
，须
=0，
即（
，t，1－t）・（，1，－1）=0，2t+t－(1－t)=0，解得t=
，
∴点F的坐标为(
)，
∴
= (
).
设E为AB1的中点，则点E的坐标为（0，
）.
∴
（
）
又
（
）（）=
∴
， ∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又 cos∠A1FE=
∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos
.
知识点：点 直线 平面之间的位置
题型：计算题
