问题详情：
已知函数
在区间
上是单调函数.
（1）求实数
的所有取值组成的*
；
（2）试写出
在区间
上的最大值
；
（3）设
，令
，对任意
、
，都有
成立，求实数
的取值范围.
【回答】
（1）
或
；（2）
；（3）
.
【分析】
（1）对二次函数
在区间
上是增函数或减函数进行分类讨论，结合二次函数的基本*质可求得实数
的取值范围，由此可得出*
；
（2）利用（1）中的结论可求得
关于
的表达式；
（3）作出函数
的图象，由题意可知，当
时，
，对实数
的取值进行分类讨论，数形结合可得出
和
，进而可得出关于实数
的不等式，由此可解得实数
的取值范围.
【详解】
（1）二次函数
的图象开口向上，对称轴为直线
.
①若函数
在区间
上为增函数，则
，解得
；
②若函数
在区间
上为减函数，则
，解得
.
综上所述，
或
；
（2）由（1）可知，当
时，函数
在区间
上为增函数，则
；
当
时，函数
在区间
上为减函数，则
.
综上所述，
；
（3）由已知条件可得
.
对任意的
、
，都有
成立，则
.
作出函数
的图象如下图所示：
由题意可得
，
①当
时，
在
上单调递减，
，
，
所以，
，解得
，不合乎题意；
②当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
所以，
，解得
，此时
；
③当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
所以，
，整理得
，
解得
或
，此时
；
④当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
由图象可得
，
，
所以，
，解得
，此时
；
⑤当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
由图形可知，
，
，
所以，
，解得
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
【点睛】
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．
知识点：基本初等函数I
题型：解答题
