设函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在其定义域内不单调，求实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，若...

问题详情：

设函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在其定义域内不单调，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，若在上至少存在一点使成立，求实数的取值范围．

【回答】

解：（Ⅰ）当时,，得   …………1分

所以，．又，所以曲线在点处的切线为．

…………………………3分

（Ⅱ）由已知，得在其定义域，且  ……4分

记．

解法一：

①若函数在上单调递增，则在上恒成立

即     ……………………………5分

所以，，

而，，故；          ………………6分

②若函数在上单调递减，则在上恒成立

即                  ……………………………7分

所以，，

而，，故．………………………8分

综上，若函数在其定义域内不单调，则实数的取值范围是．…9分

解法二：

若函数在其定义域内不单调，则在上有变号零点，即在上有变号零点          ……………………5分

当时，，所以在上无零点；…7分

当时，二次函数的对称轴，若要在上有变号零点，只须，解得．

综上，若函数在其定义域内不单调，则实数的取值范围是．…9分

（Ⅲ）显然，．所以原问题等价于在上至少存在一点使成立，

即存在使                        ………………10分

令，对其求导可得，所以在上单调递减，，

故即的取值范围是．  …………………………14分

知识点：导数及其应用

题型：解答题