已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左...

问题详情：

已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．

(1)求双曲线C2的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．

【回答】

解析：(1)设双曲线C2的方程为－＝1，

则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，

故C2的方程为－y2＝1.

(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，

得(1－3k2) x2－6kx－9＝0.

由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

∴k2≠且k2＜1，①

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则

∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)

＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2

＝.

又∵·＞2，得x1x2＋y1y2＞2，

解得＜k2＜3.②

由①②，得＜k2＜1.

故k的取值范围为

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题