问题详情：
已知函数
．
（1）当
时，判断
的单调*，并求
在
上的最值；
（2）
，
，求a的取值范围．
【回答】
（1）增函数，最大值为
，最小值为
；（2）
．
【分析】
（1）利用导数*
在
上为增函数，即得函数
在
上的最值；
（2）转化为
，令
，再利用导数*
，转化为
，记
，
，利用导数求出
，即得解.
【详解】
（1）当
时，
，定义域为
．
．
设
，则
，
令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
．
所以
在
上为增函数．
故
在
上的最大值为
，最小值为
．
（2）不等式
可转化为
．
令
，则
．
当
时，
．
在
上单调递减；
当
时，
．
在
上单调递增．
所以
，于是
，
记
，
，
则
，
因为
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
所以
，从而
．
故
的取值范围是
．
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的单调*和最值，考查利用导数研究不等式的存在*问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
知识点：导数及其应用
题型：解答题
