问题详情：
已知函数
，其中
为常数.
若曲线
在
处的切线在两坐标轴上的截距相等，求
的值；
若对
，都有
，求
的取值范围.
【回答】
【解析】
【分析】
（1）求出切点坐标，写出切线方程，利用切线在两坐标轴上的截距相等，求得a即可．
（2）对a分类讨论，易判断当
或当
时，
在区间
内是单调的，根据单调*得出结论，当
时，在区间
内单调递增，在区间
内单调递减， 故
，又因为
，
成立.而的最大值为
，将最大值构造新函数，通过导函数的符号判断函数的单调*求解函数的最值，然后求解结果．
【详解】
求导得
，所以
.
又
，所以曲线
在
处的切线方程为
.
由切线在两坐标轴上的截距相等，得
，解得即为所求.
对
，
，所以
在
区间内单调递减.
①当时，
，所以在区间内单调递减，故
，由
恒成立，得
，这与
矛盾，故舍去.
②当
时，
，所以
在区间内单调递增，故
，即
，由
恒成立得
，结合得
.
③当
时，因为
，
，且
在
区间上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一
，使得
，且在区间
内单调递增，在区间
内单调递减.
故
，由恒成立知，，，所以
.
又
的最大值为
，由
得
，
所以
.
设
，则
，所以
在区间内单调递增，于是
，即
.所以不等式
恒成立.
综上所述，所求
的取值范围是
.
【点睛】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调*以及函数的最值的求法，构造新函数以及二次导数是解决函数恒成立问题常用的方法，考查转化思想以及计算能力．
知识点：三角函数
题型：解答题
